MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HIPERBÓLICAS E PARABÓLICAS
Palavras-chave:
Diferenças Finitas, Equação Diferencial, PythonResumo
O Método das Diferenças Finitas é amplamente utilizado na aproximação da solução de Equações Diferenciais Parciais, transformando-as de um problema analítico em um problema numérico. Neste trabalho, apresentamos e explicamos as etapas do Método das Diferenças Finitas, que incluem: a discretização de um domínio físico contínuo em uma grade discreta; a aproximação das derivadas parciais presentes nas equações por aproximações algébricas de diferenças finitas; a substituição destas derivadas parciais pelas aproximações; a obtenção de uma equação algébrica de diferenças finitas; e, por fim, a resolução da equação algébrica resultante. Após estas etapas, o Método das Diferenças Finitas foi utilizado para resolver dois tipos de Equações Diferenciais Parciais: uma equação parabólica e outra hiperbólica. A equação parabólica estudada foi a Equação do Calor, para a qual empregamos aproximações de primeira e de segunda ordem. Já a equação hiperbólica utilizada foi a Equação da Onda, em que utilizamos somente aproximações de segunda ordem. Para implementação do método, foram desenvolvidos códigos em linguagem computacional Python e utilizados problemas de valores iniciais e de contorno encontrados em (Boyce; Diprima, 2010), cujas soluções analíticas são dadas, as quais foram utilizadas para avaliar os resultados numéricos. Para analisar se as soluções numéricas encontradas estavam adequadas foram gerados gráficos das soluções analíticas e numéricas. Inicialmente, utilizamos uma quantidade pequena de pontos para discretizar o domínio, e observamos que a solução numérica resultante se apresentava menos precisa quando comparada a solução analítica. No entanto, a medida em que aumentamos o número de pontos na grade, os resultados se aproximaram cada vez mais da solução analítica de cada problema. Dessa forma, podemos observar que os resultados numéricos obtidos com o Método das Diferenças Finitas se aproximaram das soluções exatas dos problemas estudados.
